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第5回その2 – 統計的推論

2019年11月06日

3．正規分布からの標本

この項では特に母集団が正規分布からの標本分布を考えます。正規分布は第3回に述べたように統計学における基本の分布ですから、ここで導かれる統計量はさまざまな場面で活用される重要なものです。

正規分布は次の重要な性質をもっています。

(i)正規確率変数の線型変換は正規確率変数：が正規分布に従うとき、は正規分布に従う。

(ii)独立な正規確率変数の和は正規確率変数：を独立な確率変数とし、各は平均分散を持つ正規分布に従うとする。その時、の分布は、平均、分散の正規分布となる。

つまり独立で正規分布に従う確率変数は、和や差をとったり定数倍しても再び正規分布となるのです。

また、(i)より特に、が正規分布に従うとき、

と変換するとは標準正規分布に従います(標準化といいます)。

例えば、測量において、距離、方向及び比高などあらゆる観測値を標準偏差で割った標準化変数を使うことによって、こうした異種観測値が同時網平均できることになります。

3.1　標本平均の分布－分散が既知の時

大きさの標本を考えましょう。

正規母集団の平均と分散をそれぞれ、とすれば、標本平均はですから（ii）を適用して（とすればよい）、

の分布は、平均、分散 (標準偏差 )の正規分布となります。

これは、一つのものを繰り返し観測した場合、推定値の精度を2倍にしたければ観測数は4倍にしなければならないことを示しています。

また、を標準化した統計量

は標準正規分布に従います。

3.2　標本分散の分布－(カイ二乗)分布

標本分散は、

ですから、その分布を知るためには確率変数の二乗和が従う分布が必要になります。正規分布に従う確率変数の二乗和の分布が(カイ二乗)分布です。

(カイ二乗)分布

確率変数が、を正の整数として次の形の確率密度関数を持つとき、自由度の(カイ二乗)分布といいます(図1)。

ここで、はガンマ関数という関数で、のとき、が成り立ち、という値をとります。

自由度の分布の平均は、分散はです。

図1．様々な自由度の確率密度関数

さて、を正規母集団からのランダムサンプルとします。これを標準化してとすると各は標準正規分布の確率変数となります。この時、それらの二乗和

は、自由度の分布をすることがわかっています。

それでは、標本分散との関係はどうなるでしょうか。

と変形すると、左辺は自由度の分布、右辺第2項は自由度1の分布を持ちます。このことと(詳しい証明は省きますが)とが独立なことから、右辺第1項が自由度の分布に従うことがわかります。つまり、を正規母集団からの標本分散としたとき統計量、

は自由度の分布に従います。これを使えば、標本分散から母分散について統計的推論を行うことが可能になります。また、後に述べる最小二乗法では残差の二乗和に対して分布を用いて検定を行います。

3.3　標本平均の分布－分散が未知の時：t分布

3.1で母集団の分散が既知ならば標本平均の分布は正規となり、は標準正規分布に従うことを見ましたが、一般的には母集団の分散は未知です。その場合、母分散の代わりに標本分散を使うことが考えられます。標本のサイズが大きい時はと仮定でき中心極限定理によりが近似的にに従うことがわかります。しかし、標本が小さい場合この仮定は使えず、は（スチューデントの）t分布というものになることが知られています。t分布は、小標本の場合に有用な分布です。

（スチューデントの）t分布

とが独立の確率変数で、が自由度の分布、がに従うとします。その時、確率変数、

が従う分布を自由度のt分布といいます。確率密度関数は、

になります(図2)。t分布は左右対称なので平均は0、また、なら分散はです。が大きくなるとt分布は標準正規分布に収束することが証明されており、図2からもわかるようにが30以上では標準正規分布で近似しても問題ありません。

図2．スチューデントのt分布と正規分布 (破線)

正規母集団からのランダムサンプルの場合、次が成り立ちます。

大きさの標本平均と分散をそれぞれ、、母集団平均と分散をそれぞれ、とすると統計量、

は、自由度のt分布に従います。

なぜなら、

となって、とが独立なことからとも独立になり、t分布に従う統計量の定義(10)に合致するからです。

t分布は、正規分布の代用とも考えられますが、小標本の場合の厳密な確率分布です。図2を見ると正規分布はt分布よりピークがとがっています。そのため小標本の場合、正規分布を使うと平均からはずれる確率を過小評価していることになります。

例えば、2回の観測の平均値を採用した場合、正規分布を仮定すると１観測が標準偏差内に落ちる確率は68.3％です。t分布では自由度１ですから、標準偏差内に落ちる確率はｔ分布表から50％にすぎないことがわかります。すなわち、少ない観測値に対して標本分布として正規分布を仮定した場合、計画機関は品質の悪い成果を受け入れる可能性があります。逆に、作業機関である測量業者にとっては、成果検定が緩やかになる可能性があります。なお、公共測量作業規程の準則において、測量成果の品質管理にｔ分布は使われていません。